Die Ausgangsidee

Auf einer Pinwand sind einige Zettel angeheftet. Ein neuer Zettel kommt hinzu. Der neue Zettel soll irgendwo angeheftet werden, aber er soll die vorhandenen Zettel nicht zu sehr verdecken. Ich suche ein geeignetes Maß, das der pseudozufälligen Verteilung zugrunde liegen kann.

Ich stelle mir vor, an jedem Punkt der Pinwand liegt ein Gewicht, das davon abhängt, wie viele bereits angeheftete Zettel den Punkt verdecken. Ein unverdeckter Punkt bekommt ein großes Gewicht, ein verdeckter Punkt ein kleineres Gewicht, je mehr Zettel ihn verdecken.

Ich hefte jetzt den neuen Zettel irgendwo an. Wie groß ist das „Gewicht”, das den Zettel genau an diese Stelle zieht? Ich nehme das Gesamtgewicht der Punkte, die der neue Zettel überdeckt. Mir hilft es, wenn ich mir diskrete Punkte vorstelle. Natürlich ist hier ein Integral gemeint.

Nun lege ich den neuen Zettel an jede mögliche Lage und lege in jeder Lage an jeden Punkt, den der Zettel überdeckt, das passende Gewicht. An den Rändern der Pinwand kommen weniger Gewichte zusammen als in der Mitte. Hier hilft mir die folgende Veranschaulichung: Ich setze einen Stift an einen Punkt der Pinwand und ziehe den neuen Zettel von oben nach unten und von links nach rechts über den Stift. Das Produkt der Längen der Linien, die der Stift auf dem Zettel hinterläßt, entspricht der „Zahl der Gewichte” in dem Punkt.

Nun ist es an der Zeit, ein Gewicht zu ziehen. Ich zerlege die Pinwand so in Rechtecke, dass die vorhandenen Pinwandzettel die Rechtecke nicht zerlegen. Ein Rechteck liegt entweder ganz innerhalb oder ganz außerhalb eines Pinwandzettels. Die Anzahl der überdeckenden Pinwandzettel ist in jedem Punkt eines Rechtsecks gleich, die „Zahl der Gewichte” in jedem Punkt ist eine einfache Funktion. Das Gesamtgewicht eines Rechtecks ist leicht zu berechnen. Ich wähle pseudozufällig ein Rechteck entsprechend seinem Gewicht, das „Positionierungsfeld”.

Ich ziehe jetzt ein „Gewicht” aus dem Positionierungsfeld. Wie viele Gewichte liegen für eine bestimmte Lage des neuen Pinwandzettels im Positionierungsfeld? Die Zahl entpricht der Fläche der Überschneidung des neuen Pinwandzettels mit dem Positionierungsfeld. Die zweidimensionale Verteilung des Pinwandzettels unter der Randbedingung, dass das „Gewicht” im Positionierungsfeld liegt, ist offensichtlich das Produkt der Randverteilungen in senkrechter und waagerechter Richtung. Zwei weitere Pseudozufallszahlen liefern die Position des neuen Pinwandzettels.

Wie ist die unterschiedliche Überdeckung durch Pinwandzettel zu bewerten? Ich teile das Gewicht für jede Überdeckung durch eine fest Zahl, die auf der Seite „Einstellungen” eingegeben werden kann. Voreingestellt ist 512.

Die Zerlegung

Für die beschriebene Verteilung spielt es im Ergebnis keine Rolle, wie die Pinwandfläche zerlegt wird. Natürlich ist die Rechenzeit kleiner, je weniger Felder die Zerlegung bilden. Die Rechenzeit spielt auf meinem Rechner kaum eine Rolle, auf Ihrem Rechner hoffentlich auch nicht. Die später beschriebenen Modifikationen der Verteilung hängen aber von der Zerlegung ab. Deshalb betrachte ich hier verschiedene Möglichkeiten der Zerlegung. Die folgenden vier Möglichkeiten bezeichne ich durch einen Kenbuchstaben.

Buchstabe h

Ein Feld wird zuerst entlang den senkrechten Seiten des neuen Pinwandzettels geschnitten.

Buchstabe v

Ein Feld wird zuerst entlang den waagerechten Seiten des neuen Pinwandzettels geschnitten.

Buchstabe c

Ein Feld wird zuerst entlang der linken, dann der oberen, dann der rechten und schließlich der linken Seite der neuen Pinwandzettels geschnitten.

Buchstabe m

Es wird immer die größte Fläche abgeschnitten.

Varianten der Verteilung

Die Zettel sollen die Fläche gut ausfüllen. Deshalb modifiziere ich die Positionierung der Zettel so, dass die Überschneidung des Zettels und des Positionierungsfeldes maximal ist. In waagerechter und in senkrechter Richtung gibt es je zwei Positionen, zwischen denen die Überschneidung in der jeweiligen Richtung maximal ist. Ich nenne diese beiden Positionen die „Rastpunkte”. Neben der oben beschriebenen Verteilung (Kennziffer 0) definiere ich drei weitere Verteilungen, die auf den Bereich zwischen den Rastpunkten beschränkt sind:

Ziffer 0

Die Verteilung ist absolut stetig. Die Dichte ist die Länge der Überschneidung in der jeweiligen Richtung.

Ziffer 1

Die Verteilung gemäß Ziffer 0 wird auf das Intervall zwischen den Rastpunkten beschränkt. Die Wahrscheinlichkeit gemäß Ziffer 1, dass der Zettel am linken Rastpunkt, zwischen den Rastpunkten oder am rechten Rastpunkt positioniert wird, ist so groß wie die Wahrscheinlichkeit gemäß Ziffer 0, dass der Zettel vor dem linken Rastpunkt, zwischen den Rastpunkten beziehungsweise nach hinter dem rechten Rastpunkt positioniert wird.

Ziffer 2

Der Zettel wird an einem der beiden Rastpunkte mit gleicher Wahrscheinlichkeit positioniert.

Ziffer 3

Die Position des Zettels ist im Intervall zwischen den Rastpunkten gleichverteilt.

In waagerechter und in senkrechter Richtung kann ich die Varianten der Verteilung unabhängig wählen. Die zweidimensionale Verteilung bezeichne ich durch eine Folge von drei Zeichen. Dem Kennbuchstaben der Zerlegung folgen die Kennziffern der Varianten in waagerechter und senkrechter Richtung.

Grafische Darstellungen

Die folgenden Bilder zeigen die Zerlegungen zu Verteilungen mit gleichen Varianten in waagerechter und senkrechter Richtung. Für jede Überdeckung wird das Gewicht eines Feldes durch 512 geteilt (s. Einstellungen). Zu jeder Verteilung gibt es vier graphische Darstellung. Die erste Graphik zeigt die Positionierung des zweiten Pinwandzettels des Bilderabschnitts /s2009w02/pinw#s11, die zweite Graphik die Positionierung des sechsten und letzten Pinwandzettels desselben Bilderabschnitts, die dritte Graphik zeigt die Positionierung des letzten Pinwanzettels der Übersichtsseite /s2015w16/pinw (s. posinfo_svg.pl (Quelltext)).

Ein Feld der Zerlegung ist dunkler, je mehr Pinwandzettel es überdecken. Das rot umrandete Feld wird zur Positionierung des Pinwandzettels ausgewählt. Die Lage des Pinwandzettels ist grün umrandet.

Die vierte Graphik zeigt die Anzahl der Zerlegungsfelder (senkrechte Achse) in Abhängigkeit von der der Anzahl der Bilder am Beispiel derselben Übersichtsseite. In jeder Verteilung wurde die Übersichtsseite 35 mal neu angezeigt, daher gibt es zu jeder Verteilung 35 Zahlenreihen. Die Linien zeigen Ausgleichskurven durch die sechs Zahlenreihen mit den höchsten und den niedrigsten Anzahlen der Zerlegungsfelder am Ende sowie eine Ausgleichskurve durch alle 35 Zahlenreihen (s. diagramme (Quelltext)).

Verteilung h00

Verteilung h00, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung h00, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung h00, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung h00, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung h11

Verteilung h11, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung h11, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung h11, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung h11, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung h22

Verteilung h22, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung h22, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung h22, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung h22, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung h33

Verteilung h33, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung h33, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung h33, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung h33, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung v00

Verteilung v00, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung v00, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung v00, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung v00, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung v11

Verteilung v11, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung v11, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung v11, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung v11, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung v22

Verteilung v22, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung v22, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung v22, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung v22, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung v33

Verteilung v33, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung v33, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung v33, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung v33, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung c00

Verteilung c00, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung c00, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung c00, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung c00, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung c11

Verteilung c11, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung c11, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung c11, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung c11, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung c22

Verteilung c22, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung c22, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung c22, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung c22, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung c33

Verteilung c33, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung c33, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung c33, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung c33, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung m00

Verteilung m00, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung m00, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung m00, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung m00, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung m11

Verteilung m11, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung m11, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung m11, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung m11, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung m22

Verteilung m22, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung m22, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung m22, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung m22, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel

Verteilung m33

Verteilung m33, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des zweiten Pinwandzettels

Verteilung m33, /s2009w02/pinw#s11, Positionierung des sechsten Pinwandzettels

Verteilung m33, /s2015w16/pinw, Positionierung des letzten Pinwandzettels

Verteilung m33, /s2015w16/pinw, Zahl der Zerlegungsfelder abhängig von der Zahl der Pinwandzettel